Grupp (Algeber)

algebresch Struktur
Dëse Mathematiksartikel ass eréischt just eng Skizz. Wann Dir méi iwwer dëst Theema wësst, sidd Dir häerzlech invitéiert, aus dëse puer Sätz e richtegen Artikel ze schreiwen. Wann Dir beim Schreiwen Hëllef braucht, da luusst bis an d'FAQ eran.

Eng Grupp ass an der Algeber eng algebresch Struktur, déi Symmetrien a reversibel Transformatiounen duerstellt.

Definitioun

änneren

Eng Grupp ass eng Koppel   vun engem net eidelen Ensembel   an enger binärer Operatioun   op  

 

déi follgend Axiomer erfëllt:

  • Fir all  ,  ,   gëllt:
           .[1]
(Assoziativitéit)
  • Et gëtt en neutraalt Element  , sou dass fir all   gëllt:
           .[2]
(Existenz vum neutralen Element)
  • Fir all   existéiert en inverst Element   mat
           .[3]
(Existenz vum inversen Element)

Eng Grupp ass also e Monoid, an deem all Element en Inverse huet.

Abelsch Gruppen

änneren

Eng Grupp heescht abelsch oder och kommutativ, wa se zousätzlech zu den uewe genannten Axiomer nach déi follgend Bedéngung erfëllt:

  •  ,   gëllt:
           .
(Kommutativitéit)

Am anere Fall, d.h. wann et Elementer  ,   gëtt mat  , gëtt d'Grupp net-abelsch respektiv net-kommutativ genannt.

Kuckt och

änneren
  1. Dowéinst kann een d'Klamere fortloossen:  .
  2. Dat neutraalt Element ass automatesch eendeiteg, well wann   en neutraalt Element ass, da gëllt  
  3. Den Inverse ass och eendeiteg, well wa   en Inverse vun   ass, dann ass