En Ellipsoid ass e Kierper deen der dräi- oder méidimensionaler Duerstellung vun enger Ellips entsprécht.

Triaxialt Ellipsoid mat

Bekannt Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn d'Äerd an de Rugbyball.

DefinitiounÄnneren

 
Rugbyball als gestreckt Rotatiounsellipsoid

En Ellipsoid am dräidimensionale Raum kann als gestreckt oder gestaucht Bild vun enger Kugeluewerfläch (Sphär) erkläert ginn. Beim Gebrauch vu kartesesche Koordinaten an Ausriichtung vun de Koordinatenachsen x, y an z no de Symmetrieachse vum Ellipsoid heescht seng Equatioun

 

mat positiven reellen Zuelen  ,   an  , de Längte vun den Hallefachsen.

Am n-dimensionale Raum ass en Ellipsoid

 

d'Léisungsmenge vun enger quadratescher Equatioun mat positiv definiter reeller (zu enger quadratescher Form gehéierenden) Matrix  .

Duerch Haaptachsentransformatioun kann ee   op eng Diagonalmatrix mat positiven Eegewäerter transforméieren. D'Eegevecteure vun där Matrix ginn d'Richtung vun den Haaptachsen un, d'Kehrwäerter vun de Wurzelen aus den Eegewäerter sinn d'Längte vun den Hallefachsen déi derzou gehéieren.

An der Linearer Optiméierung ginn Ellipsoiden an der Ellipsoid-Method gebraucht.

Déi follgend Erklärunge begrenze sech nees op Ellipsoiden am dräidimensionale Raum. Wann allen dräi Hallefachse verschidde sinn, da schwätzt ee vun triaxialen (oder dräiachsegen) Ellipsoiden. Bei der Rotatioun vun enger Ellips ëm eng vun hiren Achsen entstinn Rotatiounskierper, an dësem Fall Rotatiounsellipsoide. Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn rotéierend Himmelskierper, wéi eis Äerd (vergl. Äerdellipsoid) resp. Planéiten, Sonnen oder Galaxien. Elliptesch Galaxien kënnen och triaxial sinn.

D'Äerd als EllipsoidÄnneren

 
D'Äerd als gestauchten Rotatiounsellipsoid

Eis Äerd ass nëmmen ongeféier eng Kugel. A Wierklechkeet ass si duerch d'Dréiung ëm sech selwer un de Polen ofgeflaacht an och soss ganz onreegelméisseg geformt. Fir dës Onreegelméissegkeet méi genee ze beschreiwen, gëtt amplaz vun der Kugel dacks e Rotatiounsellipsoid gebraucht. Dësen déngt an der Kartographie an an der Geodesie als Bezuchssystem fir d'Konstruktioun vu Vermoossungsnetzer an der direkten Angab geographescher Koordinaten. Duerch den Ellipsoid gëtt d'Äerdfigur als "Fläch konstanter Héicht" ofgestëmmt (kuckt Geoid an Mierespigel).

Volume vum EllipsoidÄnneren

De Volume   léisst sech mat

 

aus dem Produkt vun den Hallefachse berechnen.

Uewerfläch vum RotatiounsellipsoidÄnneren

Sief   a sief   déi numeresch Exzentrizitéit vun der Ellips, déi sech als Schnëtt mat der  -Fläch   ergëtt. Dann ass fir en ofgeplattenen Ellipsoid mat   (Rotatiounsachs = z-Achs)

 

a fir e verlängerten Ellipsoid mat   (Rotatiounsachs = x-Achs)

 

D'Uewerfläch vum triaxialen EllipsoidÄnneren

D'Uewerfläch vum triaxialen Ellipsoid léisst sech net mat Hëllef vu Funktiounen ausdrécken, déi een als elementar ugesäit, wéi z. B. artanh oder arcsin. D'Flächeberechnung ass dem Adrien-Marie Legendre mat Hëllef vun der elliptescher Integrale gelongen. Sief  . Schreift een

  an  

sou heescht d'Integrale

  an  

D'Uewerfläch huet mat E an F no Legendre[1] de Wäert

 

Ginn d'Ausdréck fir k an   souwéi d'Substitutiounen

   an   

an d'Equatioun fir A agesat, sou ergëtt sech d'Schreifweis

 

Vum Knud Thomsen staamt déi (integralfräi) „Näherungsformel“

 

Déi maximal Ofwäichung vum exakten Resultat ass manner wéi 1,2 %.

Am Grenzfall vun engem vollstänneg plattgedréckten Ellipsoid   striewen all dräi notéiert Formelen fir A géint   den duebelte Wäert vun enger Ellipsefläch mat den Hallefachsen   an  .

Herleitung der Formelen fir RotatiounsellipsoidenÄnneren

Mat den Definitioune vun der elliptescher Integraler E an F loosse sech déi béid rotatiounssymmetresch Spezialfäll liicht aus der allgemenger triaxialen Formel ofleeden, well E an F ginn zu elementaren Funktiounen.

Ofgeplattend EllipsoidÄnneren

  =  , also gëtt k = 1, doraus follegt   an  
Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat  

Verlängert EllipsoidÄnneren

  =  , also gëtt k = 0, doraus follegt  
Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat  

Alternativ loosse sech d'Uewerflächen och als Mantelfläch vu rotéierenden Ellipsen (Rotatiounsellipsoid) berechnen.

Kuckt ochÄnneren

Um SpaweckÄnneren

Wiktionnaire: Ellipsoid Definitioun, Synonymmer an Iwwersetzungen

ReferenzenÄnneren

  1. Adrien-Marie Legendre: Traite des fonctions elliptiques et des intégrales Euleriennes, Bd. 1. Hugard-Courier, Paris 1825, S. 357.