Metresche Raum

An der Mathematik ass e metresche Raum en Ensembel, op deem eng Distanzfunktioun mat gewëssenen Eegenschaften definéiert ass. Dës Distanzfunktioun nennt ee Metrik. Metresch Raim si Beispiller vun topologesche Raim an erlaben et Konzepter wéi Konvergenz ze definéieren.

Dat einfachste Beispill vun engem metresche Raum ass den dräidimensionalen Euklidesche Raum $\mathbb {R} ^{3}$. D'Distanz tëscht zwee Punkten ass déi üblech Euklidesch Distanz.

Definitioun

E metresche Raum ass eng Koppel $(X,d)$ vun engem Ensembel $X$ an enger Funktioun $d:X\times X\to \mathbb {R}$, déi follgend Axiomer erfëllt:

Fir all $x,y\in X$ gëllt:       $d(x,y)\geq 0$ an $d(x,y)=0$ genee dann, wann $x=y$.	(positiv definit)
Fir all $x,y\in X$ gëllt:       $d(x,y)=d(y,x)$.	(symmetresch)
Fir all $x,y,z\in X$ hu mer d'Inegalitéit:       $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.	(Dräiecksinegalitéit)

Grondbegrëffer

Eng Suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergéiert géint $x\in X$, wa fir all $\varepsilon >0$ en $n\in \mathbb {N}$ existéiert, soudatt fir all $m\geq n$ gëllt, dass $d(x,x_{m})<\varepsilon$. Eng Cauchy-Suite ass eng Suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, sou dass et fir all $\varepsilon >0$ en $n_{0}\in \mathbb {N}$ gëtt, sou dass fir all $p,q\geq n_{0}$gëllt, dass $d(x_{p},x_{q})<\varepsilon$. E metresche Raum, an deem all Cauchy-Suite konvergéiert, nennt ee vollstänneg. Falls et eng Borne $C\geq 0$ gëtt, sou dass fir all $x,y\in X$ gëllt, dass $d(x,y)\leq C$, da seet een dass $X$ bornéiert ass. E Sousensembel $Y\subseteq X$ ass och ëmmer e metreschen Ënnerraum mat der nämmlechter Metrik $d$. Falls all oppene Ball an $X$ en net-eidele Schnëtt mat $Y$ huet, dann ass $Y$ dicht an $X$. E metresche Raum, an deem all Suite eng konvergent Sous-suite huet, nennt ee kompakt.

Metresch Raim mat extra Struktur

Norméiert Vektorraim

E Vektorraum iwwert $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ mat enger Norm $\|\cdot \|$ definéiert eng Metrik $d(x,y):=\|x-y\|$.

Riemannsch Mannifalten

Fir e Riemannsche Mannifalt $M$ an eng differenzéierbar Kurv $\gamma :[0,T]\to M$ kann een eng Längt $L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt$ definéieren. Wann een d'Distanz tëscht zwee Punkten als den Infimum vun de Längte vun alle Kurven tëscht deene Punkten definéiert, da gëtt $M$ zu engem metresche Raum.

Metresch Moossraim

Raim, déi eng Metrik an eng Mesure hunn, déi kompatibel matenee sinn.