De Lemma vum Euklid ass e Resultat aus der Zuelentheorie. E seet, datt all natierlech Zuel vun enger Primzuel gedeelt gëtt.

Beweis änneren

De Beweis gëtt mam Prinzip gefouert, datt en Ensembel vun natierlechen Zuelen, deen net eidel ass, ëmmer e klengstent Element enthält. Elo ass eng natierlech Zuel   entweeder eng Primzuel (d. h. mer si fäerdeg mam Beweis, well   jo säin eegenen Deeler ass), oder se ass zesummegesat, d. h. et gtt eng natierlech Zuel  , déi   deelt. Faasse mer alleguer déi natierlech Zuelen zesummen, déi dës lescht Bedingung erfëllen, da kréie mer den net eidelen Ensembel

 .

Dësen huet also e kléngstent Element, d. h. et gëtt eng natierlech Zuel  , déi méi kleng wéi all déi aner Elementer vun   ass. Da muss   eng Primzuel sinn, well wa   zesummegesat wier, da géif jo nees eng natierlech Zuel   existéieren, déi   deelt, an opgrond vun der Transitivitéit vun der Deelbarkeet (cf. Deeler) misst   och   deelen, also en Element vun   sinn. Dat steet awer am Widdersproch dozou, dat   dat klengst Element vun   ass. Dat beweist de Lemma.